Доказательство наименьшего положительного периода функции y = cos^2(x)

Период функции является одним из важных показателей, определяющих повторяемость её значений. Для функций, основанных на тригонометрии, период может быть нескольких видов: основной (первый положительный период), простой (наименьший положительный период) и другие. В этой статье мы рассмотрим наименьший положительный период функции y = cos2x и докажем его значение.

Функция y = cos2x представляет собой квадрат косинуса стандартного угла x. Косинус функции возвращает значения в диапазоне от -1 до 1, а возведение в квадрат делает все значения положительными, причем они все лежат в диапазоне от 0 до 1.

Чтобы найти наименьший положительный период функции y = cos2x, необходимо найти такое положительное число искомого периода T, при котором функция равна самой себе. Иными словами, необходимо найти такое T, чтобы y = cos2x = cos2(x + T).

Основные понятия

  • Период функции — это наименьшее положительное число, для которого выполняется равенство: f(x + T) = f(x) для любого значения x.
  • Косинусная функция — это элементарная функция, определенная как отношение прилежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника.
  • Функция y cos2x — это функция, в которой значение косинуса возводится в квадрат и умножается на переменную x.
  • Наименьший положительный период функции — это самый маленький положительный период, для которого функция повторяет свое значение.

Изучение наименьшего положительного периода функции y cos2x позволяет оценить, как часто функция повторяет свои значения и выявить ее особенности. Для доказательства наименьшего положительного периода необходимо рассмотреть свойства косинусной функции и применить методы математического анализа.

Математическая запись функции

Функция y = cos2x может быть записана математически следующим образом:

y = cos(2x)

Здесь символ «cos» означает косинус, а значение 2x указывает на то, что аргумент косинуса в данной функции умножается на 2.

Таким образом, функция y = cos2x представляет собой косинус угла, удвоенного относительно значения x.

Доказательство

Для нахождения наименьшего положительного периода функции y = cos2x воспользуемся определением периодической функции.

Пусть T — положительный период функции y = cos2x.

Это означает, что для любого x из диапазона [0, T), значения функции y = cos2x повторяются с интервалом T.

Для функции y = cos2x период равен 2π. Это связано с тем, что значение аргумента удваивается при умножении на 2, а значения функции cos повторяются с периодом 2π.

Таким образом, наименьший положительный период функции y = cos2x равен 2π.

Доказательство наименьшего положительного периода

Для доказательства наименьшего положительного периода функции y = cos(2x) мы воспользуемся следующими шагами:

  1. Рассмотрим функцию на промежутке от 0 до 2π.
  2. Найдем значения функции на этом промежутке.
  3. Выясним, когда функция принимает свое наименьшее положительное значение.
  4. Найдем значение аргумента x, при котором функция принимает своё минимальное положительное значение.
  5. Найденное значение аргумента x будет являться наименьшим положительным периодом функции.

Итак, рассмотрим функцию y = cos(2x) на промежутке от 0 до 2π:

Подставим в функцию различные значения x, изменяющиеся от 0 до 2π:

  • При x = 0: y = cos(2*0) = cos(0) = 1
  • При x = π/4: y = cos(2*(π/4)) = cos(π/2) = 0
  • При x = π/2: y = cos(2*(π/2)) = cos(π) = -1
  • При x = 3π/4: y = cos(2*(3π/4)) = cos(3π/2) = 0
  • При x = π: y = cos(2*π) = cos(2π) = 1
  • При x = 5π/4: y = cos(2*(5π/4)) = cos(5π/2) = 0
  • При x = 3π/2: y = cos(2*(3π/2)) = cos(3π) = -1
  • При x = 7π/4: y = cos(2*(7π/4)) = cos(7π/2) = 0
  • При x = 2π: y = cos(2*2π) = cos(4π) = 1

Из полученных значений функции видно, что наименьшее положительное значение функции равно 0. Далее, мы видим, что функция принимает это значение при x = π/4 и x = 5π/4. При этом, разность между этими значениями аргумента x равна π/2.

Таким образом, доказано, что наименьший положительный период функции y = cos(2x) равен π/2.

Использование метода дифференцирования

Для начала найдем производную данной функции, используя правило дифференцирования для функции y = cos^2(x). Возьмем производную от cos^2(x) по x:

(cos^2(x))’ = 2cos(x)(-sin(x)) = -2cos(x)sin(x).

Теперь решим уравнение -2cos(x)sin(x) = 0. Здесь мы ищем значения x, при которых производная функции равна нулю. Это могут быть либо точки, где cos(x) = 0, либо sin(x) = 0.

Первое уравнение cos(x) = 0 имеет решения x = π/2 + πk, где k — целое число.

Второе уравнение sin(x) = 0 имеет решения x = 0 + πk, где k — целое число.

Для того чтобы найти наименьший положительный период функции, нужно найти расстояние между соседними решениями уравнения -2cos(x)sin(x) = 0, которые лежат в положительной полуплоскости. Между соседними решениями у нас есть π, так как каждое из этих решений соответствует точке максимума функции cos^2(x).

Следовательно, наименьший положительный период функции y = cos^2(x) равен π.

Использование свойств функции cos2x

  • Период: Функция cos2x имеет период, равный половине периода функции cosx. Используя это свойство, можно рассмотреть только положительные значения x от 0 до π.
  • Симметрия: Функция cos2x обладает симметрией относительно оси y. Это значит, что значения функции при x и −x будут одинаковыми. Из этого следует, что зная значения функции на полуинтервале от 0 до π, можно найти значения функции на полуинтервале от −π/2 до 0.
  • Максимум и минимум: Функция cos2x достигает своего максимального значения 1 при x = 0 и своего минимального значения -1 при x = π/2.
  • Периодичность: Функция cos2x имеет период, равный π.

Используя эти свойства функции cos2x, можно провести анализ значения функции на полуинтервале от 0 до π и найти наименьший положительный период.

Значимость результата

Ранее установлено, что период функции y = cos(x) равен 2π, однако косинус удваивает аргумент функции, и поэтому период функции y = cos(2x) будет составлять π. Определение наименьшего положительного периода функции является важным этапом в анализе функциональных зависимостей и позволяет более точно определить особенности и поведение функции в этом интервале.

Доказательство наименьшего положительного периода функции y = cos(2x) может быть использовано в физических приложениях, например, при изучении колебаний или волн в различных системах, где функция косинуса широко используется. Также это доказательство может быть важным компонентом в разработке электронных систем и программного обеспечения, где требуется анализ функций и определение их периодичности.

Оцените статью